برای اثبات اینکه در هر چهارضلعی با فقط دو ضلع موازی و مساوی متوازیالاضلاع است، از روش هم نهشتی مثلثها استفاده میکنیم.
1. فرض کنید \(ABCD\) یک چهارضلعی باشد که در آن \(AB \parallel CD\) و \(AB = CD\) باشد.
2. نقطه \(E\) را بر روی خط \(AD\) به طوری که \(AE = BC\) و \(EB\) را به \(C\) وصل میکنیم. به عبارت دیگر اگر خط \(AD\) را ادامه دهیم، نقطه \(E\) را طوری انتخاب میکنیم که طول \(AE\) برابر با طول \(BC\) باشد.
3. حالا مثلثهای \(ABE\) و \(CDE\) را در نظر بگیرید. از آنجا که \(AB \parallel CD\) و زاویههای متناظر \(AEB\) و \(CDE\) برابر هستند، یعنی \(\angle ABE = \angle CDE\) (چون زوایای متناظر برابرند).
4. همچنین، چون \(AB = CD\) فرض شده است و \(AE = BC\)، پس از دو ضلع از مثلثهای \(ABE\) و \(CDE\) برابرند:
\[
AB = CD \quad \text{و} \quad AE = BC
\]
5. از آنجایی که دو مثلث \(ABE\) و \(CDE\) دو زاویه و یک سمت از مثلثها برابر هستند، بنابراین، طبق قاعده هم نهشتی مثلثها (\(AAS\))، میتوانیم نتیجه بگیریم:
\[
\triangle ABE \cong \triangle CDE
\]
6. چون مثلثهای \(ABE\) و \(CDE\) هم نهشت هستند، بنابراین باقی زوایای آنها نیز برابر خواهند بود، پس:
\[
\angle ABE = \angle CDE \quad \text{و} \quad \angle AEB = \angle CDE
\]
7. در نتیجه میتوان نتیجه گرفت که زاویههای داخلی در هر طرف برابرند و بنابراین، \(AD\) و \(BC\) برابر و موازی خواهند بود.
8. با این توجیه میتوانیم به این نتیجه برسیم که \(ABCD\) یک متوازی الاضلاع است.
بنابراین ثابت کردیم که در هر چهارضلعی با فقط دو ضلع موازی و مساوی، این چهارضلعی متوازیالاضلاع است.
